Test: Aria unui triunghi

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Pentru a calcula cu ajutorul determinanților aria triunghiului $ABC$ , cu vârfurile $A(xA,yA)$ , $B(xB,yB)$ și $C(xC,yC)$ , folosesc determinantul $\Delta =\beginvmatrix xA &yA &1 \\ xB &yB &1 \\ xC &yC &1 \endvmatrix$ ?

Este adevărat că, folosind calculul cu determinanți, aria triunghiului $ABC$ , cu vârfurile $A(xA,yA)$ , $B(xB,yB)$ și $C(xC,yC)$ , este $A\Delta ABC=\frac12\left | \Delta \right |$ unde $\Delta =\beginvmatrix 1 &1 &1 \\ xA &xB &xC \\ yA &yB &yC \endvmatrix$ ?

Este adevărat că aplicând formula de calcul cu determinanți pentru aria triunghiului $ABC$ , având vârfurile în punctele coliniare $A(xA,yA)$ , $B(xB,yB)$ și $C(xC,yC)$ , se obține $\Delta =\beginvmatrix xA &yA &1 \\ xB &yB &1 \\ xC &yC &1 \endvmatrix=1$ și deci $A\Delta ABC=\frac12$ ?

În triunghiul $ABC$ se notează cu $hC$ lungimea înălțimii dusă din vârful $C$ . Este corectă următoarea formulă pentru aria triunghiului $ABC$ : $A\Delta ABC=\frac12hC\cdot AB$ ?

Observație: Am notat cu $AB$ lungimea segmentului de dreaptă determinat de punctele $A$ , respectiv $B$ .

Este corect să afirm că lungimea segmentului $AB$ este egală cu distanța dintre punctele $A(xA,yA)$ și $B(xB,yB)$ și se calculează cu formula : $AB=\sqrt(xA-xB)^2+(yA-yB)^2$ ?

Folosind, în calculul determinantului, dezvoltarea după a treia coloană, să se calculeze aria triunghiului cu vârfurile în punctele de coordonate $A(2,3)$ , $B(1,-6)$ și $C(0,3)$ .

Folosind, în calculul determinantului, dezvoltarea după a treia linie, să se calculeze aria triunghiului cu vârfurile în punctele de coordonate $A(-1,2)$ , $B(-2,3)$ și $C(3,1)$ .

Fie triunghiul $\Delta ABC$ cu vârfurile în punctele de coordonate $A(1,1)$ , $B(x,m)$ și $C(x^2, n)$ . Să se calculeze numerele reale $m, n\epsilon \mathbbR$ pentru care determinantul $\Delta$ are expresia:

$\Delta=x^2+x-2$
Indicație: În calculul determinantului $\Delta$ folosește dezvoltarea după coloana absciselor.

Fie triunghiul $\Delta ABC$ cu vârfurile în punctele de coordonate $A(1,1)$ , $B(x,0)$ și $C(x^2, 2)$ . Determină valorile reale ale lui $x\epsilon \mathbbR$ pentru care aria triunghiului $\Delta ABC$ are valoarea $A\Delta ABC=\frac32$ .

Indicație: Folosește-te de enunțul exercițiului $8$ deoarece acest exercițiu este în continuarea sa.

Care este cea mai mică valoare pe care o poate avea aria triunghiului $\Delta ABC$ cu vârfurile în punctele de coordonate $A(1,1)$ , $B(x,0)$ și $C(x^2, 2)$ ?

Indicații:
1. Folosește-te de enunțul exercițiului $8$ deoarece acest exercițiu este o continuare a sa.
2. Expresia de gradul $ax^2+bx+c$ are, pentru $a> 0$ , valoarea minimă egală cu $\frac-\Delta 4a$ atunci când $x=\frac-b2a$ .

Fie triunghiul $\Delta ABC$ cu vârfurile în punctele de coordonate $A(1,1)$ , $B(x,0)$ și $C(x^2, 2)$ . Calculează coordonatele vârfurilor triunghiului $\Delta ABC$ pentru cazul în care aria sa are valoarea minimă.

Indicație: Folosește-te de enunțul exercițiului $10$ deoarece acest exercițiu este în continuarea sa.

Calculează aria patrulaterului $ABCD$ cu vârfurile în punctele de coordonate $A(3,3)$ , $B(4,3)$ , $C(6,2)$ și $D(1, 2)$ .

Indicație: $AABCD=A\Delta ABC+A\Delta ACD$

Fie $A$ punctul de intersecție al dreptelor $d1$ și $d2$ , de ecuații:

$d1:x+2y-5=0$ și $d2:-x+y-1=0$ .
Determină coordonatele punctului $A$ și calculează aria triunghiului $\Delta ABC$ cu vârfurile în punctele $A$ , $B(-2,3)$ și $C(3,1)$ .

Fie $C$ punctul de intersecție al dreptelor $d1$ și $d2$ , de ecuații:
$d1:2x-5y-3=0$ și $d2:2x-y+1=0$ .
Determină coordonatele punctului $C$ și calculează aria triunghiului $\Delta ABC$ cu vârfurile în punctele $A(4,1)$ , $B(3,1)$ și $C$ .

Fie triunghiul $\Delta ABC$ cu vârfurile în punctele de coordonate $A(3,-6)$ , $B(-3,2)$ și $C(4,3)$ .

Calculează lungimea înălțimii $hC$ dusă din vârful $C$ al triunghiului.
Indicație: Calculează aria $A\Delta ABC$ folosind formula cu determinant și apoi folosește formulele din exercițiile $4$ și $5$ din acest test.

Descrierea testului

Acest test de matematică conține exerciții pentru clasa a XI-a cu privire la aria unui triunghi. Rolul acestor exerciții este să te ajute să înțelegi cât mai bine noile noțiuni. Rezolvă aceste exerciții și notele tale la clasă vor crește. În plus vei descoperi cât de distractiv poate să fie! În cadrul studiului determinanților la orele de matematică din clasa a XI-a, este important să vezi niște aplicații ale lor. În geometria analitică, folosind doar coordonatele carteziene ale punctelor, determinanții dau metode alternative pentru aflarea ecuației dreptelor, rezolvare problemelor de coliniaritate a trei puncte din plan și calculul ariei unui triunghi căruia i se cunosc vârfurile.

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (2)