Test: Funcția de gradul al doilea. Aplicații

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Se dau funcțiile $f:\mathbbR-->\mathbbR\quad f(x)=mx+n$ și $g:\mathbbR-->\mathbbR\quad g(x)=ax^2+bx+c$ .

Metoda uzuală folosită pentru a determina punctele de intersecție ale graficelor lor prevede rezolvarea sistemului de ecuații $\left \ \beginarrayl y=mx+n\\ y=ax^2+bx+c \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ .

Dacă intersectăm graficul unei funcții de gradul întâi cu graficul unei funcții de gradul al doilea putem obține:

Pentru orice funcție de gradul al II-lea $f:\mathbbR-->\mathbbR\;\;f(x)=ax^2+bx+c$ , dacă $a<0$ , atunci funcția NU este mărginită superior (poate lua valori oricât de mari), dar este mărginită inferior, $yV=-\frac\Delta 4a$ reprezentând valoarea minimă a funcției.

Dacă o funcție de gradul al II-lea $f:\mathbbR-->\mathbbR\;\;f(x)=ax^2+bx+c$ admite valoare maximă, atunci:

Considerăm funcția de gradul al II-lea $f:\mathbbR-->\mathbbR\;\;f(x)=ax^2+bx+c$ , cu $a\neq0$ și discriminantul $\Delta=b^2-4ac$ .

Graficul funcției intersectează axa $Ox$ în două puncte distincte dacă și numai dacă $\left \ \beginarrayla<0\\ \Delta>0 \endarray \right.$ .

Sistemul de ecuații $\left \ \beginarrayl y=-3 x + 10\\ y=x^2 - 7 x + 10 \endarray \right.\quad x,y\in \mathbbR$ poate fi rezolvat folosind metoda substituției.

Ecuația de gradul al doilea obținută înlocuind în a doua ecuație necunoscuta $y$ cu expresia $-3 x + 10$ are soluțiile:

Se dau funcțiile $f:\mathbbR-->\mathbbR\quad f(x)=-3 x + 10$ și $g:\mathbbR-->\mathbbR\quad g(x)=x^2 - 7 x + 10$ .

Graficelor lor se intersectează în punctele:

Pentru fiecare număr $m\in\mathbbR$ considerăm funcția $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=-x^2 +2 (m+7) x -11m+3$ .

Discriminantul $\Deltam$ este:

Pentru fiecare număr $m\in\mathbbR$ considerăm funcția $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=-x^2 +2 (m+7) x -11m+3$ .

Valorile parametrului $m$ pentru care funcția $fm$ admite valoarea maximă $50$ sunt:

Pentru fiecare număr $m\in\mathbbR$ considerăm funcția $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=x^2 +6 m x +18m+27$ .

Discriminantul $\Deltam$ este:

Pentru fiecare număr $m\in\mathbbR$ considerăm funcția $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=x^2 +6 m x +18m+27$ .

Mulțimea valorile parametrului $m$ pentru care graficul funcției $fm$ NU intersectează axa $Ox$ este:

Determină $m0=$ valoarea parametrului $m\in \mathbbR$ pentru care dreapta de ecuație $y= - m x + m + 3$ este tangentă parabolei de ecuație $y= x^2 + m x + m^2 + 2 m$ .

Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Pentru fiecare număr $m\in\mathbbR$ considerăm funcția $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=x^2 +6 m x +18m+27$ .

Determină $\beta=$ valoarea parametrului $m$ pentru care punctul de minim este $6$ .
Determină $ymax=$ valoarea minimă corespunzătoare a acestei funcții particulare $f\!\beta$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și, eventual, semnul minus.

Pentru fiecare număr $m\in\mathbbR$ considerăm funcția $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=x^2 +6 m x +18m+27$ .

Determină $n=$ numărul valorilor întregi ale parametrului $m$ pentru care graficul funcției $fm$ intersectează axa $Ox$ în cel puțin un punct.
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre.

Pentru fiecare număr $m\in\mathbbR^*$ considerăm funcția $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=m x^2 - 4 m^2 x + 4 m^3 + 5 m - 3$ .

Determină $n=$ numărul valorilor întregi nenule ale parametrului $m$ pentru care vârful parabolei care reprezintă graficul funcției $fm$ se află la o distanță strict mai mică decât $10\sqrt3$ față de axa $Ox$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre.

Descrierea testului

Parcurgând acest test de matematică pentru clasa a IX-a îți vei consolida cunoștințele despre funcția de gradul al doilea prin aplicații recapitulative la final de capitol. Unele întrebări vor verifica dacă știi să intersectezi graficul unei funcții de gradul întâi cu graficul unei funcții de gradul al doilea. Vei întâlni întrebări în care ți se va cere să determini valorile unui parametru pentru care o funcție de gradul al doilea îndeplinește anumite condiții privitoare la valoarea extremă sau la intersecția graficului cu axele. Sper ca testul să-ți placă! Rezolvă-l cât mai bine și vei avea succes la examenele care te așteaptă.

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (2)