Matematică, clasa a IX-a

Test: Sisteme omogene II

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

1

Un sistem omogen de gradul al doilea de două ecuații cu două necunoscute $x$ și $y$ este alcătuit din două ecuații omogene în care o sumă algebrică de termeni de gradul al doilea în $x$ și $y$ este egalată cu un termen constant (nul sau nenul).

2

Alege sistemele omogene care NU admit soluția banală $(0,0)$ ,

3

Orice sistem omogen de forma $\left \ \beginarrayl ax^2+bxy+cy^2=0\\ mx^2+nxy+py^2=0 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ admite soluția banală $(0,0)$ , dar NU admite alte soluții.

4

Alege sistemele omogene care, după înmulțirea primei ecuații cu $3$ , urmată de însumarea ecuațiilor, conduc la o ecuație omogenă de tipul $a x^2+b xy+c y^2=0\; \; x,y\in \mathbbR$ .

5

Pentru orice sistem omogen de forma $\left \ \beginarrayl ax^2+bxy+cy^2=d\\ mx^2+nxy+py^2=q \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ , dacă $d\neq 0$ sau $q\neq 0$ , atunci sistemul NU admite soluția banală $(0,0)$ , dar este posibil să admită alte soluții.

6

Fie sistemul omogen $\left \ \beginarrayl -14x^2+xy+y^2=6\\ -4x^2-2xy+y^2=4 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ . Observăm că ambii termeni liberi din dreapta sunt nenuli, dar nu sunt opuși.

Pentru a rezolva sistemul, putem alege o pereche ordonată $(\alpha ,\beta )\in\mathbbR^*\times\mathbbR^*$ astfel încât, după ce înmulțim prima ecuație cu $\alpha$ și a doua ecuație cu $\beta$ , termenii liberi din dreapta devin opuși.
O pereche $(\alpha ,\beta )\in\mathbbR^*\times\mathbbR^*$ convenabilă pentru rezolvarea sistemului dat ar putea fi:

7

Fie sistemul omogen $\left \ \beginarrayl -14x^2+xy+y^2=6\\ -4x^2-2xy+y^2=4 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ . Ambii termeni liberi sunt nenuli, dar nu sunt opuși.

Pentru a rezolva sistemul, putem alege o pereche ordonată $(\alpha ,\beta )\in\mathbbR^*\times\mathbbR^*$ astfel încât, după ce înmulțim prima ecuație cu $\alpha$ și a doua ecuație cu $\beta$ , termenii liberi devin opuși.
Adunând aceste noi ecuații, se obține o ecuație omogenă cu termen liber nul. Sistemul dat este echivalent cu sistemul:

8

Fie sistemul omogen $\left \ \beginarrayl -14x^2+xy+y^2=6\\ -4x^2-2xy+y^2=4 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ . Ambii termeni liberi sunt nenuli.

Pentru a rezolva sistemul, îl putem transforma într-un sistem echivalent, în care prima ecuație omogenă are termenul liber nul.
Putem continua rezolvarea analizând două cazuri: $\textrmCaz I.\left [\overline\underlinex=0\, \right ]$ și $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ .
Notăm $S\textrmI=$ mulțimea soluțiilor corespunzătoare primului caz.
În $\textrmCaz I.\left [\overline\underlinex=0\, \right ]$ se obține sistemul de două ecuații cu unica necunoscută $y$ :

9

Fie sistemul omogen $\left \ \beginarrayl -14x^2+xy+y^2=6\\ -4x^2-2xy+y^2=4 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ . Ambii termeni liberi sunt nenuli.

Pentru a rezolva sistemul, îl putem transforma într-un sistem echivalent, în care prima ecuație omogenă are termenul liber nul.
Putem continua rezolvarea analizând două cazuri: $\textrmCaz I.\left [\overline\underlinex=0\, \right ]$ și $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ .
Notăm $S\textrmI=$ mulțimea soluțiilor corespunzătoare primului caz.
În $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ putem împărți prima ecuație cu $x^2$ , obținând ecuația:

10

Fie sistemul omogen $\left \ \beginarrayl -14x^2+xy+y^2=6\\ -4x^2-2xy+y^2=4 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ . Ambii termeni liberi sunt nenuli.

Pentru a rezolva sistemul, îl putem transforma într-un sistem echivalent, în care prima ecuație omogenă are termenul liber nul.
Putem continua rezolvarea analizând două cazuri: $\textrmCaz I.\left [\overline\underlinex=0\, \right ]$ și $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ .
Notăm $S\textrmI=$ mulțimea soluțiilor corespunzătoare primului caz.
În $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ se obține un sistem de ecuații mai simplu:

11

Fie sistemul omogen $\left \ \beginarrayl -14x^2+xy+y^2=6\\ -4x^2-2xy+y^2=4 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ . Ambii termeni liberi sunt nenuli.

Pentru a rezolva sistemul, îl putem transforma într-un sistem echivalent, în care prima ecuație omogenă are termenul liber nul.
Putem continua rezolvarea analizând două cazuri: $\textrmCaz I.\left [\overline\underlinex=0\, \right ]$ și $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ .
În $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ se obține un sistem de ecuații mai simplu. Rezolvând acest sistem obținem $S\textrmII=$ mulțimea soluțiilor corespunzătoare celui de-al doilea caz:

12

Fie sistemul omogen $\left \ \beginarrayl -14x^2+xy+y^2=6\\ -4x^2-2xy+y^2=4 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ . Ambii termeni liberi sunt nenuli.

Pentru a rezolva sistemul, îl putem transforma într-un sistem echivalent, în care prima ecuație omogenă are termenul liber nul.
Putem continua rezolvarea analizând două cazuri: $\textrmCaz I.\left [\overline\underlinex=0\, \right ]$ și $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ .
Notăm $S\textrmI=$ mulțimea soluțiilor corespunzătoare primului caz, $S\textrmII=$ mulțimea soluțiilor corespunzătoare celui de-al doilea caz, iar $S=$ mulțimea soluțiilor sistemului.
După ce am determinat mulțimile $S\textrmI$ și $S\textrmII$ putem finaliza rezolvarea sistemului în modul următor:

13

Fie sistemul omogen $\left \ \beginarrayl -6x^2+21xy-12y^2=-12\\ -4x^2-16xy+12y^2=12 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ . Ambii termeni liberi sunt nenuli și opuși.

Sistemul dat este echivalent cu un sistem în care prima ecuație omogenă are termenul liber nul, obținută adunând ecuațiile inițiale.
Putem continua rezolvarea analizând două cazuri: $\textrmCaz I.\left [\overline\underlinex=0\, \right ]$ și $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ .
Determină numerele $a,b\in\mathbbN$ pentru care mulțimea soluțiilor corespunzătoare primului caz este $S\textrmI=\left \(a,b),(-a,-b)\right \$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre.

14

Fie sistemul omogen $\left \ \beginarrayl -6x^2+21xy-12y^2=-12\\ -4x^2-16xy+12y^2=12 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ . Ambii termeni liberi sunt nenuli și opuși.

Sistemul dat este echivalent cu un sistem în care prima ecuație omogenă are termenul liber nul, obținută adunând ecuațiile inițiale.
Putem continua rezolvarea analizând două cazuri: $\textrmCaz I.\left [\overline\underlinex=0\, \right ]$ și $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ .
Determină numerele $a,b\in\mathbbN$ pentru care mulțimea soluțiilor corespunzătoare celui de-al doilea caz este $S\textrmII=\left \(a,b),(-a,-b)\right \$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre.

15

Fie sistemul omogen $\left \ \beginarrayl -6x^2+21xy-12y^2=-12\\ -4x^2-16xy+12y^2=12 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ .

Determină numerele $a,b,c,d\in\mathbbN$ pentru care mulțimea soluțiilor sistemului este $S=\left \(a,b),(-a,-b),(c,d),(-c,-d)\right \$ și $a<c$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre.

Descrierea testului

Rezolvă acest test de matematică pentru clasa a IX-a și vei verifica dacă știi să rezolvi sisteme de ecuații omogene. Unele întrebări vor verifica dacă știi forma generală sau dacă poți identifica astfel de sisteme omogene în care ambii termeni liberi sunt nenuli. Vei întâlni întrebări în care ți se va cere să rezolvi pas cu pas sisteme de ecuații omogene, în cazul în care ambii termeni liberi sunt nenuli, urmând metoda prezentată în lecția video. Sper ca întrebările să-ți placă! Rezolvă testul și vei învăța matematică!

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (2)

Contact cu eduboom

Contact cu eduboom