Test: Teorema lui Thales

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Fie triunghiul $\Delta ABC$ . Dacă există scalarul $k\in \mathbbR\setminus\left \ -1,0 \right \$ astfel încât $\overrightarrowAM=k\overrightarrowMB$ și $\overrightarrowAN=k\overrightarrowNC$ , atunci $MN\parallel BC$ .

Fie triunghiul $\Delta ABC$ . Presupunem că $MN\parallel BC$ și $\overrightarrowAM=3\overrightarrowMB$ .

Determină scalarul $k>0$ pentru care $\overrightarrowAN=k\overrightarrowNC$ .

Reciproca teoremei lui Thales afirmă că dacă în triunghiul $\Delta ABC$ punctul $M\in AB\setminus \left \ A,B \right \$ , punctul $N\in AC\setminus \left \ A,C \right \$ și $MN\parallel BC$ , atunci există scalarul $k\in \mathbbR\setminus\left \ -1,0 \right \$ astfel încât $\overrightarrowAM=k\overrightarrowMC$ și $\overrightarrowAN=k\overrightarrowNB$ .

Fie triunghiul $\Delta ABC$ . Presupunem că $\overrightarrowAM=3\overrightarrowMB$ , $\overrightarrowAP=\frac12\overrightarrowPB$ , $\overrightarrowAN=\frac12\overrightarrowNC$ și $\overrightarrowAQ=3\overrightarrowQC$ , ca în imagine.

Precizează relațiile de paralelism adevărate în aceste condiții.

În orice triunghi $\Delta ABC$ , dacă punctul $M\in AB\setminus \left \ A,B \right \$ (adică în interiorul laturii sau pe una dintre prelungiri), punctul $N\in AC\setminus \left \ A,C \right \$ (adică în interiorul laturii sau pe una dintre prelungiri) și $\fracAMMB=\fracANNC$ , atunci există scalarul $k\in \mathbbR\setminus\left \ -1,0 \right \$ astfel încât $\overrightarrowAM=k\overrightarrowMB$ și $\overrightarrowAN=k\overrightarrowNC$ .

Dacă punctul $M\in AB\setminus \left [ AB \right]$ ( adică în exteriorul segmentului $\left [ AB \right ]$ ) și $\fracAMAB=4$ , atunci este posibil ca:

Dacă $\frac\overrightarrowEQ\overrightarrowQF=-\frac52$ , atunci:

Fie triunghiul $\Delta ABC$ . Presupunem că $\frac\overrightarrowAE\overrightarrowEB=-\frac52$ , $\frac\overrightarrowAM\overrightarrowMB=-\frac25$ , $\frac\overrightarrowAU\overrightarrowUC=-\frac52$ și $\frac\overrightarrowAQ\overrightarrowQC=-\frac25$ , ca în imagine.

Poziționează punctele $E,M,U,Q$ pe figură și precizează relațiile de paralelism adevărate în aceste condiții.

Poziționează punctele $E,M,U,Q$ pe figură și precizează relațiile adevărate care exprimă coliniaritatea vectorilor.

Găsește relația de legătură între vectorii $\overrightarrowEP$ și $\overrightarrowEA$ , precum și între vectorii $\overrightarrowEQ$ și $\overrightarrowEB$ .
Precizează afirmația adevărată.

Fie dreptunghiul $ABCD$ , punctul $E\in (DC)$ , iar punctele $M,N$ definite de relațiile vectoriale $\frac\overrightarrowAM\overrightarrowMD=\frac\overrightarrowBN\overrightarrowNC=\frac13$ . Fie $MN\cap EA=\left \ P \right \$ și $MN\cap EB=\left \ Q \right \$ . Punctele $K,L$ sunt definite de relațiile vectoriale $\overrightarrowPK=\frac13\overrightarrowKQ$ și $\overrightarrowAL=\frac13\overrightarrowLB$ , ca în imagine.

Fixăm originea vectorilor de poziție în punctul $E$ .
Exprimă vectorul de poziție al punctului $K$ în funcție de $\overrightarrowr\! P$ și de $\overrightarrowr\! Q$ , precum și vectorul de poziție al punctului $L$ în funcție de $\overrightarrowr\! A$ și de $\overrightarrowr\! B$ .
Precizează afirmația adevărată.

Fixăm originea vectorilor de poziție în punctul $E$ .
Folosind exprimarea lui $\overrightarrowr\! K$ în funcție de $\overrightarrowr\! P$ și de $\overrightarrowr\! Q$ , exprimarea lui $\overrightarrowr\! P$ în funcție de $\overrightarrowr\! A$ , exprimarea lui $\overrightarrowr\! Q$ în funcție de $\overrightarrowr\! B$ și exprimarea lui $\overrightarrowr\! L$ în funcție de $\overrightarrowr\! A$ și de $\overrightarrowr\! B$ obținem $\overrightarrowr\! K =\frac512\overrightarrowr\! L$ , de unde rezultă că punctele $E,K,L$ sunt coliniare.

În triunghiul $\Delta ABC$ , punctul $E$ este definit de relația vectorială $\overrightarrowAE=\frac45\overrightarrowAB$ .

Determină scalarul $k\in \mathbbR$ pentru care $EF\parallel BC$ și $\overrightarrowAF=k\overrightarrowFC$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Se dă trapezul $ABCD$ . Fie $AC\cap BD=\left \ O \right \$ , iar punctele $M,N$ sunt definite de relațiile vectoriale $\overrightarrowOM=-\frac14\overrightarrowMA$ și $\overrightarrowON=2\overrightarrowNA$ . Presupunem că există punctul $P\in (BD)$ astfel încât $MP\parallel CD$ și $NP\parallel AD$ .

Determină scalarul $k\in \mathbbR$ pentru care $\overrightarrowAB=k\overrightarrowCD$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

În triunghiul $\Delta ABC$ punctul $M\in (AB)$ și punctul $N\in (AC)$ astfel încât $MN\parallel BC$ . Fie punctele $P1,P2,P3,...,P23\in (MN)$ astfel încât $MP1=P1P2=P2P3=...=P22P23=P23N$ și punctele $Q1,Q2,Q3,...,Q35\in (BC)$ astfel încât $BQ1=Q1Q2=Q2Q3=...=Q34Q35=Q35C$ .

Determină $n=$ numărul de perechi ordonate $\left ( Pk,Ql \right )$ pentru care punctele $A,Pk,Ql$ sunt coliniare.
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre.

Descrierea testului

Rezolvă acest test de matematică pentru clasa a IX-a și vei verifica dacă ai învățat temeinic cum se aplică Teorema lui Thales și reciproca ei. Testul cuprinde întrebări în legătură cu scrierea riguroasă, vectorială, a rapoartelor pe care le-ai întâlnit în gimnaziu când ai aflat prima dată despre Teorema lui Thales și despre reciproca ei. Vei exersa aplicarea teoremei în rezolvarea unor probleme de coliniaritate. Vei avea ocazia să îți folosești cunoștințele despre vectorii de poziție. Vei exersa cunoștințe de geometrie plană dobândite în gimnaziu. Sper ca testul să-ți placă! Rezolvă-l cât mai bine și vei fi foarte bine pregătit la matematică!

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (3)