Test: Sisteme omogene

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Un sistem omogen de două ecuații cu două necunoscute $x$ și $y$ este alcătuit din două ecuații în care se însumează termeni de gradul al doilea în $x$ și $y$ , termeni de gradul întâi și termeni constanți.

Alege sistemele omogene.

Forma generală a unui sistem omogen de două ecuații cu două necunoscute $x$ și $y$ este:

$\left \ \beginarrayl ax^2+bxy+cy^2=d\\ mx^2+nxy+py^2=q \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ , coeficienții $a,b,c,d,m,n,p,q$ fiind numere reale.

Prin împărțirea ecuației omogene $ax^2+bxy+cy^2=0$ la $x^2$ , în ipoteza $x\neq 0$ , se obține ecuația:

Orice sistem omogen de forma $\left \ \beginarrayl ax^2+bxy+cy^2=0\\ mx^2+nxy+py^2=0 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ admite soluția banală $(0,0)$ , dar este posibil să admită și alte soluții.

Fie sistemul omogen $\left \ \beginarrayl 2x^2-xy=0\\ -x^2+7xy=0 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ . Pentru a rezolva sistemul, putem analiza două cazuri: $\textrmCaz I.\left [\overline\underlinex=0\, \right ]$ și $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ .

În $\textrmCaz I.\left [\overline\underlinex=0\, \right ]$ se obține sistemul de două ecuații cu unica necunoscută $y$ :

Notăm $S\textrmI=$ mulțimea soluțiilor corespunzătoare primului caz.
În $\textrmCaz I.\left [\overline\underlinex=0\, \right ]$ se obține $S\textrmI=\left \ (0,\beta )\: |\: \beta\in \mathbbR\right \$ , mulțime care cuprinde și soluția banală $(0,0)$ .

În $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ putem proceda urmând metoda uzuală, adică împărțind prima ecuație cu $x^2$ , sau (pentru acest sistem particular) putem proceda mai rapid, împărțind prima ecuație cu $x$ .
Obținem sistemul:

În $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ putem împărți prima ecuație cu $x$ .
Obținem un sistem în care, dacă substituim pe $y$ în a doua ecuație conform primei ecuații, obținem ecuația cu unica necunoscută $x$ :

Notăm $S\textrmI=$ mulțimea soluțiilor corespunzătoare primului caz, $S\textrmII=$ mulțimea soluțiilor corespunzătoare celui de-al doilea caz, iar $S=$ mulțimea soluțiilor sistemului.
După ce am determinat mulțimile $S\textrmI$ și $S\textrmII$ putem finaliza rezolvarea sistemului în modul următor:

Fie sistemul omogen $\left \ \beginarrayl -15x^2+2xy+y^2=0\\ -12x^2+xy+y^2=0 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ . Pentru a rezolva sistemul, putem analiza două cazuri: $\textrmCaz I.\left [\overline\underlinex=0\, \right ]$ și $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ .

Notăm $S\textrmI=$ mulțimea soluțiilor corespunzătoare primului caz.
În $\textrmCaz I.\left [\overline\underlinex=0\, \right ]$ se obține sistemul de două ecuații cu unica necunoscută $y$ :

În $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ putem împărți prima ecuație cu $x^2$ , obținând ecuația:

În $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ se obține o disjuncție logică a două sisteme de ecuații mai simple (două sisteme de ecuații conectate prin „sau”):

Notăm $S\textrmII=$ mulțimea soluțiilor corespunzătoare celui de-al doilea caz.
În $\textrmCaz II.\left [\overline\underlinex\neq0\, \right ]$ se obține o disjuncție logică a două sisteme de ecuații mai simple. Rezolvând aceste sisteme și reunind mulțimile lor de soluții obținem:

Notăm $S\textrmI=$ mulțimea soluțiilor corespunzătoare primului caz, $S\textrmII=$ mulțimea soluțiilor corespunzătoare celui de-al doilea caz, iar $S=$ mulțimea soluțiilor sistemului.
După ce am determinat mulțimile $S\textrmI$ și $S\textrmII$ putem finaliza rezolvarea sistemului în modul următor:

Descrierea testului

Parcurgând acest test de matematică pentru clasa a IX-a vei verifica dacă știi să rezolvi sisteme de ecuații omogene. Unele întrebări vor verifica dacă știi forma generală sau dacă poți recunoaște astfel de sisteme. Vei întâlni întrebări în care ți se va cere să rezolvi pas cu pas sisteme de ecuații omogene, în cazul în care termenii liberi sunt nuli, urmând metoda prezentată în lecția video. Sper ca testul să-ți placă! Rezolvă-l cât mai bine și vei fi excelent pregătit pentru examenele care te așteaptă.

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (0)