Matematică, clasa a IX-a

Test: Inducția matematică. Exerciții M2

Lecție video

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Se consideră următoarea egalitate matematică:

$P(n)\! :\; 3+5+7+...+\left ( 2n+1 \right )=n^2+2n,\; n\in\mathbbN^*$ .
Pentru a demonstra cu ajutorul inducției matematice egalitatea de mai sus, trebuie să demonstrezi că:

Se consideră propoziția generală $P(n)\! :\; 2^n+2n^2+18n\: \vdots \: 4,\; n\in\mathbbN,\;n\geq 2$ .

Pentru a demonstra cu ajutorul inducției matematice divizibilitatea de mai sus, în „Etapa I” trebuie să demonstrezi că:

Se dă propoziția generală $P(n)\! :\; 2^n+2n^2+18n\: \vdots \: 4,\; n\in\mathbbN,\;n\geq 2$ .

Propoziția $P\left ( 2 \right )$ arată astfel: $2^2+2\cdot 2^2+18\cdot 2\: \vdots \: 4$ .

În ”Etapa II” a unei demonstrații prin inducție matematică se presupune adevărată propoziția $P\left ( k \right )$ , pentru orice număr(arbitrar ales dar fixat) $k\in\mathbbN,k\geq n0$ și folosind $P\left ( k \right )$ , se demonstrează propoziția $P\left ( k+1 \right )$ adevărată.

Se dă predicatul $P(n)\! :\; 3+5+7+...+\left ( 2n+1 \right )=n^2+2n,\; n\in\mathbbN^*$ . Propoziția $P(1)$ arată astfel:

Se dă predicatul $P(n)\! :\; 9^n+1-8n+23\: \vdots \: 16 ,\; n\in\mathbbN$ .

Fie $k\in\mathbbN^*$ . Atribuind variabilei $n$ valoarea numerică $k+1$ se obține propoziția:

Se consideră următoarea egalitate matematică:

$P(n)\! :\; 3+5+7+...+\left ( 2n+1 \right )=n^2+2n,\; n\in\mathbbN^*$
Propoziția $P(k+1)$ arată astfel:

Următoarea egalitate se demonstrează folosind inducția matematică. $P(n)\! :\; 1\cdot 2+2\cdot 5+3\cdot 8+...+n\left ( 3n-1 \right )=n^2\left ( n+1 \right ),\; n\in\mathbbN^*$

Ordonează corespunzător următoarele afirmații pentru a realiza o demonstrație coerentă a „etapei II”.

Se dă predicatul $P(n)\! :\; n^2< 1000n+8,\; n\in\mathbbN$ .

Propozițiile $P(0),P(1),P(2),P(3),P(4),...$ sunt adevărate, deoarece numerele $0,1,4,9,16,...$ sunt respectiv mai mici decât numerele $8,1008,2008,3008,4008,...$
Aplicând metoda inducției matematice, se poate trage concluzia că este adevărată propoziția generală: $\forall \,n\in\mathbbN \;\; n^2< 1000n+8$ ?

Asociază corespunzător.

Se demonstrează prin inducție matematică următoarea relație de divizibilitate:

$P(n)\! :\; 2^n+2n^2+18n\: \vdots \: 4,\; n\in\mathbbN,\;n\geq 2$ .
În „Etapa II”, notată $P(k)--> P(k+1)$ , se procedează astfel:

Următoarea divizibilitate se demonstrează folosind inducția matematică.

$P(n)\! :\; 2^n+2n^2+18n\: \vdots \: 4,\; n\in\mathbbN,\; n\geq 2$
Ordonează corespunzător afirmațiile de mai jos pentru a realiza o demonstrație coerentă a „etapei II”.

Pentru fiecare $m\in\mathbbN$ se consideră predicatul $Pm(n)\! :\; 9^n+1-8n+m\: \vdots \: 16 ,\; n\in\mathbbN$ .

Există o infinitate de numere $q\in\mathbbN$ pentru care este adevărată propoziția generală $\left (\forall n \right )\; Pq(n)$ , adică $\forall n\in\mathbbN\;\;\; 9^n+1-8n+q\: \vdots \: 16$ .

Răspunde cu un singur număr, fără a folosi litere.

Pentru fiecare $n\in\mathbbN^*$ considerăm suma $S(n)=1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 5+...+n\left ( 2n-1 \right )$ .

Pentru fiecare $n\in\mathbbN^*$ și $a,b\in\mathbbZ$ considerăm expresia $Ea,b(n)=\fracan^3+bn^2-n6$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Se consideră inegalitatea $P(n)\! : \;\; n^2\geq 1000n+8,\;\; n\in\mathbbN,n\geq n0$ .

Răspunde cu un singur număr, fără a folosi litere.

Descrierea testului

Cu acest test de matematică pentru clasa a IX-a vei aprofunda folosirea metodei inducției matematice în demonstrarea unor propoziții matematice general valabile pe mulțimea numerelor naturale. Vei întâlni întrebări în legătură cu etapele care trebuie parcurse atunci când vrei să folosești această metodă. Vei învăța să demonstrezi afirmații generale în legătură cu divizibilitatea numerelor naturale, egalități și inegalități general valabile. Sper ca testul să-ți placă! Rezolvă-l cât mai bine și vei fi foarte bine pregătit pentru examenele pe care urmează să le susții!

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (4)