Test: Funcția de gradul al doilea. Forma canonică. Intervale de monotonie. Exerciții

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Orice funcție de gradul al II-lea, de forma $f:\mathbbR-->\mathbbR\;\;f(x)=ax^2+bx+c$ , cu $a\neq0$ , își atinge valoarea extremă în punctul $x=\fracb2a$ .

Pentru orice funcție de gradul al II-lea $f:\mathbbR-->\mathbbR\;\;f(x)=ax^2+bx+c$ , cu $a\neq0$ și discriminantul $\Delta=b^2-4ac$ sunt valabile următoarele afirmații:

Dacă funcția de gradul al II-lea $f:\mathbbR-->\mathbbR\;\;f(x)=ax^2+bx+c$ , cu $a\neq0$ are valoarea extremă $y0$ , atinsă în punctul de extrem $x0$ , atunci forma canonică a funcției este $f(x)=a\left(x-x0\right)^2+y0$ .

Fie funcția de gradul al II-lea $f:\mathbbR-->\mathbbR\;\;f(x)=ax^2+bx+c$ , cu $a\neq0$ și discriminantul $\Delta=b^2-4ac$ . Dacă $a<0$ tabelul de variație al funcției are forma:

$\beginarrayc|lcr x & -\infty&\left.\beginmatrix -\fracb2a\substack\,\\ \,\\ \, \endmatrix\right.&+\infty\\ \hline f(x) &\quad\quad\quad\nearrow\quad &-\frac\Delta4a^\substack\,\\ \,\\ \, &\quad\searrow\quad\quad\quad \endarray$

Pentru orice funcție de gradul al II-lea $f:\mathbbR-->\mathbbR\;\;f(x)=ax^2+bx+c$ , cu $a\neq0$ sunt valabile următoarele afirmații:

Pentru funcția de gradul al II-lea $f:\mathbbR-->\mathbbR\;\;f(x) =10 x^2 + 60 x + 78$ , forma canonică este $f(x)=10(x-3)^2-12$ .

Determină valoarea minimă a funcției $f:\mathbbR--> \mathbbR \quad f(x)=x^2-6x+8$ .

Studiază monotonia funcției $f:\mathbbR--> \mathbbR \quad f(x)=-x^2+6x-8$ și alege afirmațiile corecte.

Pentru fiecare număr $m\in\mathbbR$ considerăm funcția $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=- x^2 + 2( m +2 )x -m^2 - 3 m - 7$ .

Notăm $xm=$ punctul de maxim și $ym=fm(xm)=$ valoarea maximă a funcției $fm$ .
Mulțimea valorilor parametrului $m$ pentru care $xm>0$ și $ym<0$ este:

Pentru fiecare număr $m\in\mathbbR$ considerăm funcția $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=- x^2 + 2( m +2 )x -m^2 - 3 m - 7$ .

Notăm $xm=$ punctul de maxim al funcției $fm$ .
Determină parametrul $m$ pentru care $xm=14$ .

Pentru fiecare număr $m\in\mathbbR\setminus\left \ -1 \right \$ considerăm funcția $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=(m+1)x^2 - 2mx + (m+1)$ .

Determină parametrul $m$ pentru care funcția $fm$ are tabelul de variație de forma:
$\beginarrayc|lcr x & -\infty&\beginmatrix \;x0 \endmatrix&+\infty\\ \hline fm(x) &\quad\quad\quad\searrow\quad &\,\,1^\substack\,\\ \,\\ \, &\quad\nearrow\quad\quad\quad \endarray$

Pentru fiecare număr $m\in\mathbbR\setminus\left \ -1 \right \$ considerăm funcția $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=(m+1)x^2 - 2mx + (m+1)$ .

Determină parametrul $m$ pentru care funcția $fm$ este strict crescătoare pe intervalul $\left(-\infty,2\right)$ și este strict descrescătoare pe intervalul $\left[2,\infty\right)$ .

Pentru fiecare număr $m\in\mathbbR\setminus\left \ -1 \right \$ considerăm funcția $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=(m+1)x^2 - 2mx + (m+1)$ .

Determină valorile parametrului $m$ pentru care atât valoarea extremă cât și abscisa punctului de extrem ale funcției $fm$ sunt numere întregi .
Pentru valorile parametrului $m$ pe care le-ai determinat, calculează $s=$ suma lor și $p=$ produsul lor.
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Se consideră funcția de gradul al II-lea $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=mx^2+2(m-1)x+m-1,\;m\neq 0$ .

Determină valorile parametrului real $m$ știind că $fm$ are o valoare minimă pozitivă.
Răspunde cu număr folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Se consideră funcția de gradul al II-lea $fm:\mathbbR-->\mathbbR\;\;fm(x)=mx^2+2(m+4)x+m-1,\;m\neq 0$ .

Determină valorile parametrului real $m$ știind că funcția $fm$ este strict descrescătoare pe $(3;+\infty )$ .
Răspunde cu număr folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Descrierea testului

Rezolvă acest test de matematică pentru clasa a IX-a și vei aprofunda prin exerciții interesante noțiunea de funcție de gradul al II-lea și forma canonică a unei astfel de funcții. Vei întâlni întrebări în care ți se va cere să determini un parametru astfel încât o funcție să aibă proprietăți impuse legate de valoarea extremă a funcției, punctul de extrem în care această valoare este atinsă sau în legătură cu intervalele de monotonie. Sper ca testul să-ți placă! Rezolvă-l cât mai bine și vei fi foarte bine pregătit la matematică!

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (2)