Test: Legi de simplificare într-un grup M2

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Fie grupul $\left(G,\circledast\right)$ și $x,y,z\in G$ . Legea de simplificare la stânga afirmă că $x\circledast y=x\circledast z\Rightarrow y=z$ .

Fie grupul $\left(\mathbbZ9,+\right)$ și $x,y\in\mathbbZ9$ . Dacă $x+y=x+\widehat3$ , atunci:

Fie grupul $\left(G,\circledast\right)$ și $x,y,z\in G$ . Legea de simplificare la dreapta afirmă că $y\circledast x=z\circledast x\Rightarrow x=z$ .

Fie grupul de matrice $\left(\mathrmGL2\left(\mathbbR\right),\cdot\right)$ și $A,B,C\in\mathrmGL2\left(\mathbbR\right)$ . Dacă $BC=AC$ , atunci:

Fie grupul abelian $\left(G,\circledast\right)$ și $x,y,z,u\in G$ . Conform legilor de simplificare, $x\circledast\colorRed\cancel\;\colorBlack y\;\circledast z=\colorRed\cancel\;\colorBlack y\;\circledast u\Rightarrow x\circledast z=u$ .

În grupul $\left(\mathbbZ9,+\right)$ , ecuația $x+x=x+\widehat7+\widehat2$ este echivalentă cu:

Considerăm grupul $\left(\mathbbZ31,+\right)$ .

Determină numărul $x\in\left\0,1,2,...,30\right\$ pentru care $\widehatx+\widehat15=\widehat7$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre.

Fie $n\in\mathbbN^*$ . Considerăm structura algebrică $\left(\mathbbZn,\cdot\right)$ . Fie $U\left(\mathbbZn \right )=$ mulțimea elementelor simetrizabile. Teoria garantează că $\left(U(\mathbbZn),\cdot\right)$ este grup abelian.

În grupul $\left(U(\mathbbZ18),\cdot\right)$ , ecuația $x^2=\widehat7\cdot\widehat11\cdot x$ este echivalentă cu:

Asociază fiecărei ecuații de mai jos soluția corespunzătoare.

Fie matricele $A=\left(\beginmatrix 1& 2\\ 0& -1\endmatrix\right)$ și $B=\left(\beginmatrix 4& 5\\ -1& -2\endmatrix\right)$ .

Precizează soluția ecuației matriceale $AX=B$ în grupul $\left(\mathrmGL2\left(\mathbbR\right),\cdot\right)$ .

Considerăm grupul $\left(U(\mathbbZ23),\cdot\right)$ .

Determină numărul $x\in\left\0,1,2,...,22\right\$ pentru care $\widehatx^8\cdot\widehat10\cdot\widehatx^7=\widehatx^8\cdot\widehat21\cdot\widehatx^6$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre.

În grupul abelian $(\mathcalM5\left ( \mathbbQ \right ),+)$ , ecuația $2A+3X+B=2X+A+2B$ este echivalentă cu:

Fie matricele $A=\left(\beginmatrix i& 0\\ i& -i\endmatrix\right)$ și $B=\left(\beginmatrix -i& -i\\ 0& i\endmatrix\right)$ .

Rezolvă ecuația matriceală $AXB=I2$ în grupul $\left(\mathrmGL2\left(\mathbbC\right),\cdot\right)$ . Fie matricea $X0$ soluția acestei ecuații.
Determină numărul întreg $s=$ suma elementelor matricei $X0$ .
Determină numărul întreg $t=$ urma matricei $X0$ (suma elementelor de pe diagonala principală).
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Determină numărul $x\in\left\ 0,1,2,...,15\right\$ pentru care $\widehatx+\widehatx+1+\widehatx+2+...+\widehatx+15=17\cdot\widehatx$ în grupul $\left(\mathbbZ16,+\right)$ .

Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre.

Pentru fiecare număr $a\in\mathbbR^*$ notăm $Aa=\left(\beginmatrix a&0&a\\ 0&0&0\\ a&0&a\\ \endmatrix\right)$ .

Fie $G=\left\\left.Aa\:\right|\:a\in\mathbbR^*\right\$ .
Rezolvă ecuația matriceală $A2\cdot X\cdot A2=A32$ în grupul abelian $\left(G,\cdot\right)$ . Fie matricea $X0$ soluția acestei ecuații.
Determină numărul întreg $s=$ suma elementelor matricei $X0$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Descrierea testului

Cu acest test de matematică pentru clasa a XII-a vei verifica dacă ți-ai însușit bine legile de simplificare într-un grup. Vei întâlni întrebări despre modalitatea de aplicare concretă a acestor reguli de simplificare în grupuri aditive sau multiplicative, comutative sau necomutative. Va trebui să lucrezi cu grupuri de clase de resturi modulo n sau cu grupuri de matrice, conform cu exemplele întâlnite în lecțiile anterioare. Sper să-ți placă testul! Rezolvă-l cât mai bine și vei fi foarte bine pregătit la matematică!

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (0)