Test: Grupuri de matrice M2

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Oricare ar fi matricele $A,B\in\mathcalM3\left(\mathbbC\right)$ , matricea sumă $A+B\in\mathcalM3\left(\mathbbC\right)$ .

Precizează afirmația adevărată.

Oricare ar fi matricea $A\in\mathcalM2\left(\mathbbR\right)$ și oricare ar fi matricea $B\in\mathcalM3\left(\mathbbR\right)$ , matricea produs $A\cdot B\in\mathcalM5\left(\mathbbR\right)$ .

Precizează afirmația adevărată.

Dacă notăm cu $\textrmGL2\left(\mathbbR\right)=\left \ A\in\mathcalM2\left(\mathbbR\right)\vert\det(A)\neq0\right\$ , atunci structura algebrică $\left(\textrmGL2\left(\mathbbR\right),\cdot\right)$ este grup comutativ.

Precizează afirmațiile adevărate.

Determină matricea $A'=$ simetrică matricei $A=\left(\beginmatrix 7&-1\\ 3&5 \endmatrix\right)$ în grupul $(\mathcalM2\left ( \mathbbZ \right ),+).$

Notăm $s=$ suma elementelor din matricea $A'.$ Determină numărul $s$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Considerăm matricele $A=\left(\beginmatrix 2&2\\ 3&3 \endmatrix\right)$ și $B=\left(\beginmatrix 1&2\\ 1&2 \endmatrix\right)$ .

Verificăm faptul că $A\cdot B\neq B\cdot A$ . De aici rezultă că operația de înmulțire a matricelor în grupul $\left(\textrmGL2\left(\mathbbR\right),\cdot\right)$ NU este comutativă.

Fie numărul $n\in\mathbbN,n\geq2.$ Asociază fiecărei structuri algebrice de mai jos caracterizarea corespunzătoare.

Simetrica matricei $A=\left(\beginmatrix5&-3\\-2&1\endmatrix\right)$ în grupul $\left(\textrmGL2\left(\mathbbR\right),\cdot\right)$ este matricea:

Se dă $A=\left(\beginmatrix 1&0&0\\ 6&-1&0\\ -3&9&1 \endmatrix\right)$ . Fie $A^-1$ simetrica matricei $A$ în grupul $\left(\textrmGL3\left(\mathbbR\right),\cdot\right)$ .

Determină numărul $d=\det\left (A^-1\right)$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Fie $A=iI2=\left(\beginmatrix i& 0\\ 0& i\endmatrix\right)$ .

Simetrica matricei $A$ în grupul $(\mathcalM2\left ( \mathbbC \right ),+)$ , adică matricea $-A$ , coincide cu simetrica matricei $A$ în grupul $\left(\textrmGL2\left(\mathbbC\right),\cdot\right)$ , adică matricea $A^-1$ .

Pentru fiecare număr $a\in\mathbbR$ considerăm matricele $Aa=\left(\beginmatrix a&0\\ a&a \endmatrix\right)$ și $Ba=\left(\beginmatrix a&0\\ -a&a \endmatrix\right)$ .

Determină toate numerele $a\in\mathbbR$ pentru care matricea $Ba$ este simetrica matricei $Aa$ în grupul $\left(\textrmGL2\left(\mathbbR\right),\cdot\right)$ .
Notăm $s=$ suma acestor numere și $p=$ produsul acestora. Determină numerele $s$ și $p$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Fie mulțimea $A=\left\0,1,2,3\right\$ . Pentru fiecare pereche ordonată $(a,b)\in A\times A$ considerăm matricea $Aa,b=\left(\beginmatrix a&b\\ 1+ai&1-bi \endmatrix\right)$ .

Fie matricea $M=$ suma tuturor matricelor $Aa,b$ de mai sus, în grupul $(\mathcalM2\left ( \mathbbC \right ),+).$
Notăm $s=$ suma elementelor matricei $M$ . Determină numărul întreg $s$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Fie mulțimea $A=\left\-5,...,-1,0,1,...,5\right\$ . Pentru fiecare pereche ordonată $(a,b)\in A\times A$ considerăm matricea $Aa,b=\left(\beginmatrix a&b\\ b&a \endmatrix\right)$ .

Notăm $ninversabile=$ numărul de perechi ordonate $(a,b)\in A\times A$ pentru care matricea $Aa,b$ este element al grupului $\left(\textrmGL2\left(\mathbbR\right),\cdot\right)$ .
Determină numărul natural $ninversabile$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre.

Descrierea testului

Rezolvă acest test de matematică pentru clasa a XII-a și vei recapitula operațiile de adunare și de înmulțire a matricelor pătratice învățate în clasa a XI-a, pentru a construi grupuri de matrice. Vei întâlni întrebări despre proprietățile operațiile de adunare și de înmulțire a matricelor pătratice, în legătură cu proprietățile structurii de grup comutativ sau necomutativ. Va trebui să decizi dacă o matrice pătratică este sau nu simetrizabilă față de operația de înmulțire și în caz afirmativ să-i calculezi inversa. Sper ca testul să-ți placă! Rezolvă-l cât mai bine și vei fi excelent pregătit pentru examenele viitoare!

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (0)