Test: Matrice. Exerciții recapitulative. Partea II

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Fie matricea pătratică $A\epsilon M2(\mathbbR)$ .

Este corect calculul : $A^3=A^2+A$ ?

Fie matricea unitate de ordinul doi $I2=\beginpmatrix 1 &0 \\ 0 &1 \endpmatrix$ . Este adevărată următoarea relație: $I2+\, ^t I2=2\cdot I2=\beginpmatrix 2 &0 \\ 0 &2 \endpmatrix$ ?

Ți se dă matricea $A=\beginpmatrix 1 &2 \\ 3&4 \endpmatrix$ .

Următorul calcul este corect ?
$5\cdot A=\beginpmatrix 6 &7 \\ 8 &9 \endpmatrix$

Fie matricea pătratică $A\epsilon M2(\mathbbR)$ cu proprietatea că $A^2=-I2$ .

Este corect calculul $A^4=I2$ ?

Se dau matricele de forma $A(x)=\beginpmatrix -2 &2x+1 \\ 3x-1 &1 \endpmatrix$ . Este adevărat că $A(0)=\beginpmatrix -2 &1 \\ -1 &1 \endpmatrix$ ?

Fie matricea $A(a)=\beginpmatrix a &-3 \\ 3 &a \endpmatrix, a\epsilon \mathbbR$ .

Calculează valoarea lui $a\epsilon \mathbbR$ pentru care are loc: $A(a)+\, ^tA(a)=2020\cdot I2$

Fie matricea pătratică $A(x)=\beginpmatrix 1+x &1+2x \\ x&2x \endpmatrix$ unde $x\epsilon \mathbbR$ .

Calculează matricea $B\epsilon M2(\mathbbR)$ din relația: $(A(x)-A(y))\cdot (A(x)-A(y))=-(x-y)^2\cdot B$

Fie matricea pătratică $A(x)=\beginpmatrix -10x+1 &8x \\ -5x&4x+1 \endpmatrix$ unde $x\epsilon \mathbbR$ .

Calculează valoarea numărului real $a\epsilon R$ din relația:
$A(x)\cdot A(x)=A(2x+ax^2)$

Fie matricea pătratică $A(x)=\beginpmatrix x+2 &2 \\ 2&x+1 \endpmatrix$ unde $x\epsilon \mathbbR$ .

a) Determină matricea pătratică $M\epsilon M2(\mathbbR)$ din relația:
$A(x)\cdot A(-x)+x^2I2=M$
b) Determină matricea pătratică $X=\beginpmatrix a &b \\ c &d \endpmatrix\epsilon M2(\mathbbR)$ dacă
$M\cdot X=A(0)$

Fie matricea $A=\beginpmatrix 1 &0 \\ -2 &1 \endpmatrix$ .

a) Să se calculeze valoarea lui $m\epsilon \mathbbR$ pentru care:
$A^2=I2+m\cdot A$
b) Să se determine numerele reale $a, b, c \epsilon \mathbbR$ pentru care are loc:
$A\cdot \beginpmatrix a-1 &b+1 \\ c &1 \endpmatrix=I2$
Indicație: $I2$ este matricea unitate de ordinul doi.

Se dă matricea $A=\beginpmatrix -2 &2 \\ -1 &-1 \endpmatrix$ .

a) Calculează valoarea numărului real $m\epsilon \mathbbR$ pentru care are loc
relația: $A^2+3\cdot A=m\cdot I2$
b) Determină valorile reale pentru numerele $x, y \epsilon \mathbbR$ astfel încât
să fie îndeplinită relația: $A^3=x\cdot A+y\cdot I2$
Indicație: Rezolvă punctul b) folosind rezultatul obținut la punctul
a) sub forma $A^2=-3\cdot A+m\cdot I2$ .

Fie matricele $A=\beginpmatrix 5 &6 \\ 7 &8 \endpmatrix$ , $B=\beginpmatrix 8 &7 \\ 6 &5 \endpmatrix$ și $C=\beginpmatrix 1 &1 \\ 1 &1 \endpmatrix$ .

a) Determină valoarea scalarului $a\epsilon \mathbbR$ pentru care
$a\cdot (A+B)=C$
b) Determină matricea $X=\beginpmatrix x &y \\ z &t \endpmatrix\epsilon M2(\mathbbR)$ din relația
$A\cdot B-B\cdot A=2\cdot X+C$

Se dă matricea $A=\beginpmatrix 3 &-2 \\ 5 &-3 \endpmatrix$ .

a) Calculează valoarea numărului real $m\epsilon \mathbbR$ pentru care are loc
relația: $A^2=m\cdot I2$
b) Determină cea mai mică valoare a numărului natural $n\epsilon \mathbbN^*$
pentru care $A^n=I2$
c) Calculează suma $A+A^2+A^3+A^4+...........+A^2021$
Indicație: Folosind rezultatele de la punctele a) și b) grupează
termenii sumei de la punctul c) astfel încât suma fiecărui grup de
termeni să fie matricea nulă, $O2$ .

Fie matricele $A=\beginpmatrix 2 &2 \\ -2 &0 \endpmatrix$ , $B=\beginpmatrix 0 &-2 \\ 2 & 2 \endpmatrix$ și $O2=\beginpmatrix 0 &0 \\ 0&0 \endpmatrix$ .

a) Determină valoarea scalarului $m\epsilon \mathbbR$ din relația
$B^2+m\cdot A=O2$
b) Determină valorile reale pentru $x, y \epsilon (0, +\infty )$ pentru care
$A\cdot B+B\cdot A-(A+B)=\beginpmatrix log2x &0 \\ 0 &log3y \endpmatrix$

Fie matricea $A=\beginpmatrix 0 &1 \\ 2&0 \endpmatrix$ .

a) Calculează $A^2$ , $A^3$ , $A^4$ și $A^5$
b) Calculează suma de matrici
$S=A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6..............+A^2021$
Indicații:
1. Observă că puterile matricei $A$ sunt de forma
$A^2k=2^k\cdot I2$ și respectiv $A^2k+1=2^k\cdot A$ pentru orice $k\epsilon \mathbbN$ .
2. Pentru calculul sumei $S$ însumează separat puterile pare ale
matricei $A$ și separat puterile impare ale acesteia.
3. Folosește formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii
geometice de rație $q\neq 1$ și având primul termen $b1$ :
$sn=b1\fracq^n-1q-1$

Descrierea testului

Acest test de matematică conține exerciții pentru clasa a XI-a cu diverse operații cu matrice. Aici vei găsi aplicații cu sume, diferențe , înmulțiri de matrice, ridicarea la putere a matricelor pătratice, calculul elementelor necunoscute dintr-o matrice sau aflarea unei matrice necunoscute și calculul urmei unei matrice. Rolul acestor exerciții este să te ajute să ințelegi cât mai bine noile noțiuni. Rezolvă aceste exerciții și notele tale la clasă vor crește. În plus vei descoperi cât de distractiv poate să fie!

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (3)